Theory of Magnetism

Carsten Timm 

Technische Universit¨at Dresden, Institute for Theoretical Physics Typesetting: K. M¨uller

Contents 

1 Introduction: What is magnetism? 3
 1.1 The Bohr-van Leeuwen theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 The electron spin and magnetic moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Dipole-dipole interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Magnetism of free atoms and ions 8
2.1 The electron shell: Hartree approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Beyond Hartree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
 2.3 Spin-orbit coupling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 Magnetic moments of ions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
 2.5 The nuclear spin and magnetic moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
 2.6 Hyperfine interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

 3 Magnetic ions in crystals 15
 3.1 Crystal field effects: general considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Rare-earth ions and the electrostatic potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
 3.3 Transition-metal ions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3.1 The Jahn-Teller effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3.2 Quenching of the orbital angular momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3.3 The Kramers theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3.4 Low-spin ions and spin crossover . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4 Exchange interactions between local spins 23
4.1 Direct ferromagnetic exchange interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
 4.1.1 On-site Coulomb interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
 4.1.2 Inter-ion exchange interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2 Kinetic antiferromagnetic exchange interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.3 Superexchange interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
 4.4 Dzyaloshinsky-Moriya interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5 The Heisenberg model 31
5.1 Ground state in the ferromagnetic case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.1.1 Spontaneous symmetry breaking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.2 Ground state in the antiferromagnetic case: Marshall’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.3 Helical ground states of the classical Heisenberg model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.4 Schwinger bosons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.5 Valence-bond states . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.5.1 The case S = 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.5.2 The spin-1/2 chain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.5.3 The Majumdar-Ghosh Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6 Mean-field theory for magnetic insulators 41
6.1 Weiß’ mean-field theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.2 Susceptibility: the Curie-Weiß Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.3 Validity of the mean-field approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.3.1 Weak bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.3.2 The Hohenberg-Mermin-Wagner theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

7 The paramagnetic phase of magnetic insulators 52
7.1 Spin correlations and susceptibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
7.2 High-temperature expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

8 Excitations in the ordered state: magnons and spinons 57
8.1 Ferromagnetic spin waves and magnons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
8.1.1 Bloch spin-wave theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
8.1.2 Equilibrium properties at low temperatures in three dimensions . . . . . . . . . . . . . 60
8.1.3 The infrared catastrophy in one and two dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
8.2 Magnon-magnon interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
8.3 Antiferromagnetic spin waves and magnons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
8.3.1 The ground state . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
8.3.2 Excited states . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
8.4 The antiferromagnetic chain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
8.4.1 The Lieb-Schultz-Mattis theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
8.4.2 The Jordan-Wigner transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
8.4.3 Spinons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

9 Paramagnetism and diamagnetism of metals 73
9.1 Paramagnetism of the electron gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
9.2 Diamagnetism of the electron gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
9.2.1 The two-dimensional electron gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
9.2.2 The three-dimensional electron gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

10 Magnetic order in metals 81
10.1 Bloch theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
10.2 Stoner mean-field theory of the Hubbard model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
10.3 Stoner excitations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
10.3.1 The particle-hole continuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
10.3.2 Spin waves and magnons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
10.4 The t-J model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
10.4.1 Half filling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
10.4.2 Away from half filling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
10.5 Nagaoka ferromagnetism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92


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